about とはどういう意味ですか?

"about" の本質「ザックリ周辺」→ 「あちこちに」「〇〇のあたり」 の意味です。 「明確な目的もなくあちこちにある」という意味が込められるため、例文のようなマイナスなニュアンスを含む場合が多いのです。 There is something mysterious about him. "There is something 形容詞 about 〇〇" で、「〇〇はどこか（形容詞な）ところがある」という意味。 「ザックリ周辺」というコアイメージによって、 「その人や物に漂う雰囲気」 までも示すことができます。 I’ve set about the work. What are you about? 「何してるの？ 」

while you are about it とはどういう意味ですか?

"while you are about it" は「ついでに」です。 キッチンに何かを取りに行くついでに、スーパーに行くついでに、という文脈で使います。 "while" は「〜している間」ですから、「それに従事している間に」→「ついでに」と考えるといいでしょう。 Hey, dinner is about ready. Hey, it’s about time you got up. 主として会話の中で使われる表現。 "about ready" は「ほぼ準備できた」の意味で、この場合の "about" は "almost"（ほとんど） と同じ意味だと考えるとよいでしょう。

about と approximately はどう違いますか?

「about」の2つ目の意味は 「約・だいたい」 になります。 この意味の「about」の後には、時間や長さなどの数字や数値がきます。 より堅いフォーマルな単語は「approximately」です。 数学や物理などで「approximately」を使用することが多いです。

「about」と「around」の違いは何ですか?

となります。 「about」は「around」が持つニュアンスととても近いです。 あえて違いを言うと、「about」の方が「around」よりも漠然とした「周辺」です。 この原義を心得ておくと、これらの意味3つを混乱することなく会得できると思います！